Valik ülesandeid tõenäosusteooriast

Ülesanded valis Reimo Palm


1. Profid

Kaks elukutselist hasartmängijat A ja B mängisid täringut järgmiste reeglite järgi. Ühe seeria võitjaks loetakse see, kes võidab esimesena 5 partiid. Seeria võitja saab endale kogu mängus oleva panuse.

Ettenägematute takistuste tõttu pidid A ja B mängu pooleli jätma seisus, kus A oli võitnud kolm partiid ja B ühe. Et seeria jäi lõpetamata, tekkis küsimus, millises suhtes jaotada mängus olev panus. Kõike mängijale A anda poleks ilmselt õiglane, sest ka B-l oli shansse üldvõiduks. Nähtavasti tuleb A-le anda suurem osa ja B-le väiksem. Ent milline on selle suhte täpne väärtus?

2. Ettevalmistus koosviibimiseks

Mul on kaks maleprogrammi: "Deep thought" ja "Infinite wisdom". Esimene programm mängib peaaegu sama tugevasti kui mina, ehk ainult veidi nõrgemini, teine seevastu on minust selgesti kehvem. Pühapäeval tahan ma korraldada oma sõpradele koosviibimise, kus muuhulgas kavatsen mängida kolm demonstratsioonipartiid vaheldumisi nende kahe programmiga. Et sõprade ees mitte häbisse jääda, olen ma endale eesmärgiks seadnud võita neist kolmest partiist kaks järjest. Kumba programmide järjekorda peaksin ma eelistama - kas esimene-teine-esimene või teine-esimene-teine - et võimalus oma eesmärki täita oleks suurem?

3. Kuningas ja kolm paari uksi

Ühel vanaaja kuningal olnud omapärane viis õigust mõista.

Vang toodi areenile, kus oli kõrvuti kaks täiesti sarnast ust. Ühe ukse taga oli näljane tiiger, teise taga nägus neiu. Vang pidi valima ühe ukse ja selle avama. Kui ukse taga oli tiiger, oli ta süüdi ja jäi tiigrile saagiks; kui aga ukse taga oli neiu, oli ta süütu ning võis selle neiuga abielluda.

Taolise süsteemi ebakohad said ilmseks, kui katsele toodi noormees, kellel oli ilma kuninga teadmata olnud armulugu kuningatütrega. Noormees avas ühe ukse, siis kohe teise, ja kuna uksed avanesid vastakuti, siis moodustus kahest uksest ja nendevahelisest seinaosast kolmnurk, kuhu noormees sai varjule minna. Tiiger tuli uksest välja, läks teisest sisse ja pani neiu nahka...

Seepeale laskis kuningas areeni ümber ehitada. Uues konstruktsioonis oli areenil ühe uksepaari asemel kolm paari. Ühe paari taha pandi kaks tiigrit, teise paari taha tiiger ja neiu ning kolmanda taha kaks neiut, kes sarnanesid teineteisega nagu kaks tilka vett. Ka tingimused olid uued. Noormees pidi kõigepealt valima ühe uksepaari kolmest võimalikust ning pärast seda avama kahest valitud uksest ühe. Kui ukse taga oli tiiger, sai õigusemõistmine sellega otsa. Kui aga ukse taga oli neiu, pandi uks kinni ja võeti loosi, mille kohaselt neiu ja tema paariline (tiiger või teine neiu) pidid kas omavahel kohad vahetama või paigale jääma. Siis lasti noormeest jälle neist kahest uksest üks välja valida. Kui valitud ukse taga oli tiiger, oli jälle kõik läbi. Kui ukse taga oli neiu, suleti uks ja tõmmati uuesti loosi. Siis pidi noormees kolmandat korda samast paarist ühe ukse valima. Kolmas kord oli otsustav. Kui ukse taga sattus olema tiiger, lõppes õigusemõistmine tuntud moel, kui aga kolmaski kord tuli neiu, siis tunnistati noormees süütuks ja lubati tal neiuga abielluda.

Katsepäeval läks esialgu kõik soodsalt. Kaks korda sattus noormehe pihku uks neiuga. Jäi kolmas kord - see aga on alati kõikidest kõige raskem. Küll püüdis noormees kindlaks teha, kas esimene ja teine neiu oli üks ja sama, kuid edutult. Higipiisad pärlendasid noormehe otsa ees... Kolmandal korral on shanss arvatavasti imepisike...

Püüdkem noormehe olukorda rahulikult analüüsida ja talle sel rängal hetkel veidikenegi toeks olla. Nimelt: kui suur on tõenäosus, et ka kolmandal korral ust avades vaatab noormehele otsa kaunis näitsik?

4. Kaks korvitäit õunu

Ema tõi aiast õunu. Kahe korvi sees oli kokku 20 poolvalmis rohelist ja 20 küpset punast õuna. Väike Kati jooksis ema sabas ning nurus ja mangus endale ühte õuna - ja kindlasti punast.

"Hea küll, Kati," ütles viimaks ema, "sa võid võtta endale ühe. Pane aga tähele, et juhuslikult võttes on sul võrdne võimalus saada kas roheline või punane õun, sest õunad asuvad korvides täiesti segiläbi."

Katile selline väljavaade ei meeldinud ning talle tuli kaval mõte.

"Aga ema, kas sa ei võiks korvidest mõned rohelised õunad välja noppida, enne kui mina ühe endale võtan, siis on võimalus punast õuna saada suurem?"

"Ei mina nüüd neid sorteerima hakka. Ent kui sind selline õunavõtmise mäng huvitab, võid õunad oma äranägemist mööda ümber jaotada, nii et võimalused sulle soodsamad oleksid. Kui sa sellega valmis oled, siis teeme nii. Ma seon sinu silmad salliga kinni ja annan sulle kõigepealt valida kahe korvi vahel. Kui sa oled ühe korvi välja valinud, võid sealt võtta juhuslikult ühe õuna. See õun jääbki sulle. Ja siis olgu lunimisel lõpp!"

Niisiis, kallid lugejad, kuidas tuleks 20 punast ja 20 rohelist õuna kahe korvi vahel jaotada, et Kati shanss punast õuna saada oleks võimalikult suur? Kas on üleüldse võimalik, et see shanss on suurem kui 50%?

5. Võitke auto!

Ühe välismaa telemängu tegevus toimub järgmise stsenaariumi kohaselt. Laval on kolm ust, mille kohta on avalikustatud, et nendest ühe taga asub moekas sportauto, kummagi ülejäänud ukse taga aga alternatiivne liiklusvahend - eesel. Mängu juht kutsub publiku hulgast lavale ühe inimese ja laseb tal neist kolmest uksest ühe välja valida. Seejärel avatakse uks, mille taga asub eesel (see on ilmselt alati võimalik, olenemata sellest, millisele uksele mängija osutas). Kahe ülejäänud ukse kohta esitatakse mängijale küsimus: kas ta soovib oma esialgset valikut pidada või loobuda sellest ja valida teine järelejäänud uks.

Selgitage, kumba strateegiat mängijale soovitada, et auto võitmise tõenäosus oleks kõige suurem. Kas tuleb jääda esialgse valiku juurde ja mitte hoolida mängujuhi tungivast ettepanekust ust vahetada või peab pärast eesliga ukse avanemist otsustama just teise suletud ukse kasuks?

6. Pikantne stseen abielust

"Oh jumal, jumal! Mida ma küll valesti olen teinud, et see taak kõik minu kaela on langenud!" hüüdis Sirje ja vaatas etteheitva pilguga oma mehe poole, kes tugitoolis mõnuldes puges sügavamale ajalehe kaitsva külje alla.

"Jälle minu süü," torises Arvo oma urust, "see olid ju sina, kes kolm päeva järjest kulli välja viskas."

"Mõtleks! Kujutle, kui sa ise pead kolm päeva järjepanu nõusid pesema. Kuidas see sulle meeldib? Sa suudad vaevu ühegi päeva vastu pidada. Ja ka siis on taldrikud rasvaga koos, et ma pärast neid mitu korda pean üle loputama!"

"Sa ju alguses kiitsid seda süsteemi. Et on tore idee."

"Tore idee! Kes seda enne näinud on, et abikaasad otsustavad, jah, sõna otseses mõttes kulli ja kirja viskamisega, kes täna nõusid peseb! See oli sinu ettepanek. Et oleks vaheldust. Aga mina olen see, kes kolmel päeval järjest on kulli saanud ja kolm päeva järjest potte ja panne pidanud rookima!"

"Hm," tegi Arvo ja nihutas nina veidi ajalehe serva alt välja. "Jah. Ega see kerge pole. Ma olen sinuga nõus. Tõepoolest. Homme võiksime asja nii korraldada, et sinu shansid pesemine endale saada oleksid väiksemad kui minul. Sina viskad ühte münti, mina kahte. Kui mina saan kahe mündiga suurema kullide arvu kui sina ühega, siis pesen nõusid mina, vastasel korral sina."

Sirje nägu lõi särama. "Kallis Arvo!" ütles ta, "sa oskad vahel isegi suuremeelne olla, kui sa tahad." Ning kinkis mehele magusa suudluse.

Meid aga huvitab, kuidas seisavad poolte shansid Arvo uue ettepaneku valguses, mis kutsus Sirjel esile sellise rõõmupuhangu.


Siit leiad ülesannete vastused...