1998. a. matemaatikaolümpiaadi lõppvooru hindamisskeemid

Saateks

Olümpiaadiülesannete lahenduste hindamisel on eesmärgiks võimalikult objektiivselt ja ühetaoliselt määrata, kui suur osa ülesandest on konkreetses töös lahendatud.
Skeemi e. punktiskaalat selleks saab koostada kahel põhimõtteliselt erineval viisil (mistahes täieliku lahenduse eest antakse muidugi maksimumpunktid, küsimus on seega eeskätt mittetäielike lahenduste eest punktide andmises):
  1. Ülesande lahendus jaotatakse loogilisteks osadeks ja määratakse iga osa eest antavad punktid, nii et need summas annaksid võimaliku maksimumi.
    Iga konkreetse lahenduse korral liidetakse selle üksikute osade eest antud punktid.
    Mitme oluliselt erineva lahendusvõimaluse olemasolul tehakse selline skeem neist igaühe jaoks ning konkreetsele lahendusele antakse maksimum punktidest, mis ta saaks ühe või teise skeemi järgi.

  2. Määratakse teatud hulga tüüpiliste mittetäielike lahenduste eest tervikuna antavad punktid.
    Iga konkreetse lahenduse korral valitakse sellest nimistust üks, millele antud lahendus kõige enam sarnaneb, ja antakse punkte vastavalt sellele (korrigeerides vajadusel hinnangut veidi üles- või allapoole).

Siintoodud skeemidest on osa (ülesanded 10-4, 10-5, 11-5, 12-3, 12-4) esimest ja osa (9-1, 9-2, 9-3, 9-4, 9-5, 10-1, 10-3, 11-1, 11-2, 11-3, 11-4, 12-1, 12-5) teist tüüpi. Ülesannete 10-2 ja 12-2 kohta on lisaks punktide jaotusele lahenduse osade vahel eraldi näidatud ka tüüpiliste osaliste lahenduste eest antud punktid.

9. klass

Ülesanne 1: Targo Tennisberg

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne ja korralikult põhjendatud lahendus 7 p.
Eelviimase numbri perioodilisus on küll leitud, aga pole korralikult põhjendatud 5-6 p.
Vaadeldud näiteid, üldistused pole põhjendatud 3-4 p.
Punkte võeti maha veel perioodi valesti leidmise jms. vigade eest.

Ülesanne 2: Lea Lepmann

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne selgitus 7 p.
Tõestatud üks kahest võrdusest 4 p.
Õige idee, lünk põhjenduses 3 p.
Vaadeldud erijuhtu (võrdkülgset kolmnurka) 2 p.
Tehtud ainult õige joonis 1 p.

Ülesanne 3: Elts Abel

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Õige vastus koos täielike põhjendustega 7 p.
Õige vastus, selgitustes puuduvad detailid 6 p.

Ülesanne 4: Mart Abel

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne lahendus 7 p.
Lahendus põhimõtteliselt õige, põhjendused ebaselged 5-6 p.
Eeldatud, et  z  ei ole võrdne nulliga; edasi lahendus korrektne 5 p.
Eeldatud, et  x, y  ja  z  on täisarvud; edasi lahendus korrektne 4 p.
Põhjendamata võetud eelduseks  z = 0 2 p.
Vigaste teisenduste läbi saadud õige vastus 2 p.
Põhjendamata võetud eelduseks  x = 1  või  y = 1  1 p.
Ainult õige vastus 1 p.
Esitatud vastusena muutujaid sisaldav(ad) avaldis(ed) 1 p.

Ülesanne 5: Raul Kangro

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Õige vastus ja täielikud selgitused 7 p.
Õige idee, tõestus ebaveenev lõplikkuse osas 5 p.
Õige idee, tõestus puudub või on ebakorrektne 3 p.

10. klass

Ülesanne 1: Kaido Kaarli

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne lahendus 7 p.
Lähtutud võrratustest  c > b > a  ja tõestatud nõutuga vastupidine võrratus 5 p.
Pole jõutud sisuliselt kaugemale sulgude avamisest 0 p.

Ülesanne 2: Andrei Filonov

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Tõestuse eest, et lõigud  ZY  ja  CD  on risti 4 p.
Tõestuse eest, et lõigud  XY  ja  CD  on risti 3 p.

Tüüpiliste osaliste lahenduste eest antud punktid:
Ainult tõestatud, et  ECFD  on kõõlnelinurk 2 p.
Vaadeldud erijuhtu, kui  AB  ja  CD  on paralleelsed 1 p.
Ainult tõestatud, et nurgad  ACB  ja  ADB  on täisnurgad 1 p.

Ülesanne 3: Uve Nummert

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Õige lahendus, puudub selge näide 1998 tugriku võimalikkuse kohta 6 p.
Olemas õige idee maksimaalsuse tõestuseks, kuid lõpuni realiseerimata 5 p.
Korralik näide 1998 tugriku kohta, üritatud ka tõestada maksimaalsust 4 p.
Korralik näide 1998 tugriku kohta, maksimaalsuse tõestus puudub 3 p.
Aimatav näide 1998 tugriku kohta, üritatud ka tõestada maksimaalsust 3 p.
Aimatav näide 1998 tugriku kohta, maksimaalsuse tõestus puudub 2 p.
Pole ülesande mõttest aru saadud (vastus 2000 tugrikut) 0 p.
Kui hooaja pikkuseks oli loetud 153 päeva, siis anti maksimaalselt 3 punkti, (1986 tugriku maksimaalsuse tõestuse ja vastava näite eest). Kui tõestus ja/või näide oli puudulik, sai 1-2 punkti.

Ülesanne 4: Valdis Laan

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Tõestuse eest, et  n  jagub 4-ga 4 p.
Tõestuse eest, et  n  jagub 3-ga 3 p.
Kui oli tõestatud jaguvus 2-ga, kuid mitte 4-ga, anti selle osa eest 2 punkti.

Ülesanne 5: Jan Villemson

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Idee eest leida rangelt kahanev suurus 1 p.
Tähelepaneku eest, et ühel sammul võib erilisi punkte juurde tekkida 2 p.
Lahenduse lõpuniviimise eest 4 p.
Kui vaadeldi erijuhtu (kõik punktid seotud kõigi teistega), anti 1 punkt.

11. klass

Ülesanne 1: Toomas Hinnosaar

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne tõestus 7 p.
Jõutud seose  k SÜT(a,b) = SÜT(ka,kb)  kasutamiseni 4 p.
Tõestatud erijuhul, kui  n = d1d2C  4 p.
Tõestatud erijuhul, kui  SÜT(d1,d2) = 1 2 p.

Ülesanne 2: Reimo Palm

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne lahendus 7 p.
Lahendus põhimõtteliselt õige, mõningate puudujääkide või ebaselgustega 6 p.
Ainult mainitud sobivate kolmnurkade sarnasus 1 p.
Lahenduses segamini aetud nurgapoolitaja ja mediaan 0 p.

Ülesanne 3: Mati Abel

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne lahendus 7 p.
Osaline lahendus eeldusel, et leidub punkt, kus  f(x) = 1 3 p.
Näidatud, et funktsiooni väärtused on positiivsed, ning tehtud üks asendus 2 p.
Tehtud ainult üks asendus 1 p.

Ülesanne 4: Kalle Kaarli

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Täielik lahendus 7 p.
Jõutud üht täisarvulist muutujat sisaldava avaldiseni, mille ratsionaalsust tuleks põhjendada, kuid põhjendus mittetäielik 5-6 p.
Jõutud üht täisarvulist muutujat sisaldava avaldiseni, mille ratsionaalsust tuleks põhjendada; põhjendus puudub 4 p.
Ülesande tingimused valemina kirja pandud, koos mõningase analüüsiga 2-3 p.
Ainult ülesande tingimused valemina kirja pandud 1 p.

Ülesanne 5: Härmel Nestra

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Tõestuse eest, et väärtused  n = 1, 2, 3, 4, 5  sobivad 3 p.
Tõestuse eest, et väärtused  n > 5  ei sobi 4 p.
Sobiva konstruktsiooni leidmise eest väärtuste  n > 5  jaoks (edasise tõestuse puudumisel) anti 1 punkt

12. klass

Ülesanne 1: Eno Tõnisson

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne lahendus 7 p.
Leitud lahendid, tehtud joonis ja antud mittetäielik selgitus, miks ei ole üle 2 lahendi 5-6 p.
Leitud lahendid ja tehtud joonis 4 p.
Leitud mõlemad lahendid 2 p.
Leitud üks lahend 1 p.

Ülesanne 2: Ahti Peder

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Tähelepaneku eest, et  101  on algarv 2 p.
Tõestuse eest, et rohkem selliseid algarve pole 5 p.

Tüüpiliste osaliste lahenduste eest antud punktid:

Näidatud, et kui  101...01  on algarv, siis on ühtesid paaritu arv 1 p.
Näidatud, et kui ühtede arv paaritu ja 3-st suurem, siis ei ole  101..01  algarv 3 p.
Viidud kujule  101...01 = (100n-1)/99, kus  n  on ühtede arv 2 p.

Ülesanne 3: Ülar Kahre

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Osa a) eest kokku 3 p.
Suhte  R  avaldamise eest küljepikkuste või tangensite kaudu 1 p.
Sobiva konstruktsiooni leidmise eest 2 p.
Osa b) eest 2 p.
Osa c) eest 2 p.
Kui osas a) on väidetud ilma põhjenduseta, et mingil viisil tippu  A  liigutades on võimalik kõik positiivsed reaalarvud kätte saada, siis anti 0 punkti.
Kui on leitud mingi seda liikumist kirjeldav funktsioon ja mainitud selle pidevust, monotoonsust ja mittetõkestatust sobivates piirkondades, anti 1-3 punkti.
Kui b) osas on lähtutud seostest  AB = AE+EB ,  AC = AF+FC  ja kasutatud väära väidet, et irratsionaalarvule reaalarvu juurdeliitmisel saadakse alati irratsionaalarv, anti 0 punkti.
Osas c) anti ühe näite eest 0 punkti, kahe näite eest olenevalt konstruktsiooni idee läbipaistvusest 1-2 punkti.

Ülesanne 4: Kati Metsalu

Lahenduse iga allpool märgitud osa eest antud punktid summeeriti.
Mõlemate õigete väärtuste ( n = 3 ,  n = 5 ) leidmise eest 3 p.
Tõestuse eest, et rohkem lahendeid ei saa olla 4 p.
Kui tõestuses oli kasutatud tõest, kuid põhjendamata väidet, sai selle osa eest 2 punkti.
Kui oli leitud üks õigetest väärtustest, sai selle eest 1 punkti.

Ülesanne 5: Peeter Laud

Tüüpilised lahendused ja nende eest antud punktid:
Korrektne lahendus 7 p.
Ebaselgelt läbiviidud induktsioonisamm, muidu lahendus õige 6 p.
Väidetud, et  n = 2  ei ole lahendiks, muidu õige 6 p.
Ainult märgatud, et  n  ei jagu kolmega 1 p.
Ainult ära toodud tükeldus mõnel erijuhul (2, 4, 5, 7, 6k+2) 1 p.
Mõlemad eeltoodud elemendid on olemas 2 p.


13. märts 1998
Oleg Koshik, oleg.koshik@ut.ee